Un cuadrado antimagico es un tablero de N x N con numeros de 1 a n2, de manera que las filas, columnas y diagonales principales sumen diferente, y estas sumas sean una serie consecutiva de enteros.
Fueron inventados en el año 1962 por J.A. Lindon
Ejemplo:
6,8,9,7 = 30
3,12,5,11 = 31
10,1,14,13 = 38
16,15,4,2 = 37
columnas
35=(6,3,10,16), 36=(8,12,1,15), 32 = (9,5,14,4), 33 = (7,11,13,2)
diagonales
29 = (16,1,5,7), 34 = (6,12,14,2)
Rectangulos antimagicos:
Llamo a rectangulos con los numeros de 1 a nxm, y que todas las filas, columnas y 4 "diagonales del rectangulo" sumen diferente y que los resultados sean todos consecutivos.
Llamo "diagonales del rectangulo" a las 4 lineas que salen de las esquinas de los rectangulos (tienen algun nombre en matematica?)
Ejemplo:
Rectangulo de 3 x 4:
abcd
efgh
ijkl
las 4 "diagonales del rectangulo" serian afk, dgj, ifc, lgb.
El primer rectangulo que podria cumplir esta condicion es el de 2x3 pero por lo que yo calcule no se puede.
El otro (y para mi ultimo) con esta posibilidad es el de 3x4.
El ejemplo muestra un intento:
3,4,7,11 = 25
8,12,5,1 = 26
6,2,9,10 = 27
columnas
17 = (3,8,6), 18 = (4,12,2), 21 = (7,5,9), 22 = (11,1,10)
"diagonales"
25 =(6,12,7), 18 = (2,5,11), 24 = (3,12,9), 19 = (4,5,10)
El 25, 18, 24 y 19 de la ultima fila es la suma de las 4 diagonales de 3 cifras.
Si el 25 se le restara 2 y al 18 se le sumara 2 tendriamos un rectangulo antimagico perfecto, en este caso con sumas del 17 al 27
Encontrar, si existe, una solucion a este problema (o verificar que no tenga):
2)Rectangulo antimagico primo:
Encontrar un rectangulo (o cuadrado) antimagico con los numeros de 1 a nxm de manera que las filas, columnas y 4 "diagonales" sumen primos CONSECUTIVOS
Publicado en Snark el 1/03/05
sábado, 20 de noviembre de 2010
Etiquetas: NUMEROS/NUMBERS
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4 comentarios:
El primer problema tiene solución.
La suma de los números del 1 al 12 es 78.
Al sumar columnas, filas y "diagonales" estamos sumando todos los números tres veces excepto los de la fila del medio en los que se suman dos veces los de los extremos y cuatro los del medio.
O sea que las doce sumas = 3a+3b+3c+3d+2e+4f+4g+2h+3i+3j+3k+3l
Necesitamos que la suma de 10 números consecutivos este cerca de ese valor (3x78= 234). La suma de los números del 17 al 27 es 242 por lo tanto f+g-e-h debe ser 8
Así tenemos algunas soluciones
1 10 4 12
6 9 8 3
11 2 7 5
2 8 3 12
5 11 6 4
10 1 9 7
3 10 2 12
4 9 8 5
11 1 7 6
4 11 2 10
6 9 8 3
12 1 7 5
y sus respectivas imágenes rotadas
El segundo problema no tiene solución para rectángulos de 3x4, ya que la suma de 12 números consecutivos es siempre par (12k+66 donde k es el primer número), entonces la suma de las tres columnas debe ser par y esto implica que la suma de una de las columnas debe ser par (mayor a 2) por ende no será un numero primo.
Para cuadrados de 3x3 tampoco puede haber solución ya que en 9 números consecutivos tenemos cuatro números pares y cinco impares (o 4I y 5P).
a)4P 5I
Para que una suma de 3 números de impar debe ser de la forma I+P+P o I+I+I
Entonces el cuadrado debe ser
IPP
IPP
III
Pero hay una diagonal que es IPI por lo tanto será par
Si hubiera cinco pares y cuatro impares sería peor todavía
Muy bueno Claudio!
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